Théorème de Dirichlet, Principe de localisation :

• \(f\in L^1([-\pi,\pi])\)
• \(y\mapsto\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\) est intégrable sur un voisinage de \(x\)

$$\Huge\iff$$

• $$\lim_{N\to+\infty}s_Nf(x)=f(x)\quad\text{ avec }\quad s_Nf(x)=\sum_{\lvert n\rvert\lt N}c_n(f)e^{inx}$$

Démontrer :

On suppose le résultat vrai en \(0\) pour toute fonction qui vérifie les hypothèses en \(0\) (ce qui se vérifie assez vite).

On peut alors construire à partir de \(g\) une fonction \(f\) qui vérifie \(f(0)=0\).

On a alors le résultat en exprimant \(s_Nf(0)\).

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Explique le nom "Principe de localisation".
Verso: Ce nom vient du fait que, bien que l'expression de \(s_N(f)\) résulte d'une intégration globale sur \([-\pi,\pi]\), le comportement local de \(s_Nf(x)\) dépend principalement de la régularité de \(f\) près de \(x\).
Bonus:
Carte inversée ?:
END